av RAINER CARLS
De för vår fysikaliska världsbild omvälvande upptäckterna av Einsteins relativitetsteorier (1905, 1915) och av Heisenbergs osäkerhetsprincip (1927) är numera, alltså hundra år senare, kända för de flesta bildade människor, även om endast några få har en aning om vad problemen egentligen handlar om. Ofta menar man bara att det är självklart att allt är relativt och osäkert. Men endast några få kunniga anar och kan antyda, vilken förändring dessa vetenskapliga resultat innebär för hela vår vetenskapliga världsuppfattning. Omnämner man inför samma bildade människor matematikern och filosofen Kurt Gödel och hans lika betydelsefulla och revolutionerande insats på logikens och matematikens plan (1931), har de flesta ofta inte ens hört namnet. Varför föreligger denna diskrepans? Kan detta bero på att Gödels ofullständighetsprincip, som har en fundamental betydelse för matematikens och logikens vidare utveckling, sätter den moderna upplysta människans självuppfattning i gungning och därmed berövar henne den självsäkerhet, med vilken hon bedömer tidigare religiösa och metafysiska uppfattningar som förlegade, ovetenskapliga eller vidskepliga?
Vi kan därför vara tacksamma att förlaget Fri Tanke, som grundades 2008 av bland andra Christer Sturmark, som då var Humanisternas ordförande, och som framför allt ville slå vakt om det rationella och kritiska tänkandet, på nytt har utgivit en bok som till vår tids upplysta människor skall förmedla en inblick i modern vetenskap. Det har hittills alltför mycket förbisetts. Jag kommer här att anmäla denna bok, men kompletterar denna anmälan med en hänvisning till en för några år sedan utgiven bok i samma ämne, eftersom dessa båda verk kompletterar varandra. Medan Budianskys bok behandlar matematikern och logikern Kurt Gödel och hans omvärld mer biografiskt, är Goldsteins bok en mer teoretisk redogörelse för själva det vetenskapliga problemet, som fick en lösning med Gödels upptäckt av matematikens ofullständighet.
Budianskys verk är en lysande skildring inte endast av Kurt Gödels livshistoria (1906–1978) utan framför allt av hans samtida omvärld, den österrikiska Donaumonarkins storhetstid kring sekelskiftet och dess kaotiska sönderfall efter första världskriget. Gödel föddes nämligen som son till en fabrikant i textilbranschen av tysktalande föräldrar i Brünn, den numera tjeckiska staden Brno, och utmärkte sig redan som barn genom sin frågvishet som gav honom namnet Herr Warum (Herr Varför). Under studieåren vid Wiens gamla och berömda universitet på 1920-talet kom Gödel i kontakt med sin tids mest framstående vetenskapsmän som Einstein, men han deltog också i Wienkretsens möten, en samling av vetenskapsfilosofer och tänkare som Schlick, Carnap, Hahn, von Neurath, Menger med flera, även om han sällan yttrade sig i deras sammankomster och inte helt gillade kretsens antimetafysiska och antireligiösa självsäkerhet angående den nyare vetenskapens segertåg i den moderna världen.
För att förstå Gödels insatser inom matematikens och logikens område kan man utgå från den framstående matematikern David Hilberts lista över 23 fundamentala olösta matematiska problem. Den offentliggjordes år 1900 på en internationell matematikerkongress i Paris av Hilbert som var fullt övertygad om att dessa och alla andra matematiska problem skulle kunna lösas under det kommande seklet. Problem nummer 2 var kravet på ett (logiskt) bevis på att aritmetikens axiom är konsistenta (motsägelsefria). I början av 1900-talet hade nämligen upptäckten av motsägelsefulla paradoxer (Burali-Forti, Cantor, Russell) i den naiva mängdläran gjort det nödvändigt att i ett vetenskapssystem inte endast intuitivt formulera en rad första enkla grundsatser (axiom), från vilka alla andra mer komplicerade vetenskapliga teser (teorem) kunde härledas. Man måste dessutom kunna visa att de första grundsatserna sinsemellan inte är motsägelsefulla, eftersom detta skulle ha gjort hela axiomsystemet fullständigt obrukbart. Ett annat och mer komplicerat krav var, att ett vetenskapligt axiomsystem måste vara fullständigt, så att alla sanna satser inom ett speciellt vetenskapsområde skulle kunna logiskt härledas från detta axiomsystem.
Konsistensen och fullständigheten hos den enkla satslogiken och till och med motsägelsefriheten av första ordningens predikatlogik var bevisade, när Hilbert 1928 på matematikerkongressen i Bologna på nytt presenterade fyra utmaningar som skulle avsluta den matematiska grundvalskrisen och för all framtid ge matematiken och de rationella vetenskaperna ett orubbligt fundament. Dessa utmaningar var att såväl motsägelsefriheten som fullständigheten hos matematiken och dessutom fullständigheten av den första ordningens predikatlogik måste bevisas. Den 22-årige Kurt Gödel tog sig an dessa utmaningar och efter sex månader hade han löst problemet med predikatlogikens fullständighet och presenterade den som sin doktorsavhandling 1930. Men redan året därefter 1931 kunde han dessutom visa, vad som inte någon av alla berömda vetenskapsmän anade, att de första tre problemen med matematikens motsägelsefrihet och fullständighet i all framtid över huvud taget inte kan få någon lösning. Ett matematiskt axiomsystem, med ett ändligt antal logiska och matematiska axiom, kan nämligen visas aldrig vara så utformat att hela matematiken skulle kunna härledas från detta (Gödels första ofullständighetssats) och dessutom skulle det behövas en sann matematisk sats som inte är bevisad för att visa, att själva axiomsystemet är fritt från motsägelser (Gödels andra ofullständighetssats). Gödels ofullständighetssatser omintetgjorde hela den moderna matematikens storskaliga förhoppningar, att människan snart skulle kunna behärska hela det matematiska området. Det var ett resultat som skakade de rationella vetenskaperna på samma sätt som relativitetsteorin och osäkerhetsrelationen skakade hela fysiken.
Hela denna utveckling är en spännande läsning. I denna recension kan naturligtvis inte hela det dramatiska skedet presenteras och inte heller kan själva problemet och dess teoretiska lösning närmare framställas. Men vill man läsa vidare om Gödels liv under andra världskriget, om hans övriga vetenskapliga arbeten, om hans flytt till Princeton i USA, om hans nästan dagliga promenader med relativitetsteorins Albert Einstein och om hans tragiska slut i misstänksamhet, ångest, hypokondri och självsvält, så kan man föredra Budianskys bok. Är man mera intresserad i den exakta teoretiska utformningen av ofullständighetssatserna och i deras konsekvenser för hela den framtida mänsklighetens matematiska och logiska tänkande, så kan man läsa det bäst i Goldsteins bok om mannen som krossade den matematiska drömmen.
Rainer Carls är fil. dr i teoretisk filosofi vid Göteborgs universitet och jesuitpater verksam i S:ta Eugenia församling i Stockholm.
Ur Signum nr 6/2023, s. 60–62.